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        8.第八讲:平面向量的坐标表示与线性运算

        8

        张佳思
        2019-02-06 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

        简介:本文档为《8doc》,可适用于综合领域

        第八讲?平面向量的坐标表示与线性运算一、引言本节主要内容:平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示等内容.通过本节学习进一步加深对平面向量的认识掌握通过向量的坐标表示将几何问题转化为代数问题来解决的方法领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想.本节学习要求:了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件灵活运用平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示解决相关问题发展运算能力和数形结合解决问题的能力.本节高考的热点是向量的概念、加法、减法平面向量的坐标运算两个非零向量平行的充要条件试题多以选择题、填空题为主考查基本概念、基本运算.在解答题中一般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查难度适中.在高考试题中对平面向量的考查主要有?#28023;?#20027;要考查平面向量的概念、性质和运算法则理解和运用其直观的几何意义.考查向量坐标表示向量的线性运算.和其他知识结合在一起在知识的交汇点设计试题考查向量与学科知识间综合运用能力.考查以向量为工具即构造向量解决有关数量问题侧重体现向量的工具性作用.二、考点梳理.平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量那么对这一平面内的任一向量有且只有一对实数、使.我?#21069;?#19981;共线向量、做表示这一平面内所有向量的一组基底.注意?#28023;ǎ?#22522;底不惟一关键是不共线()由定理可将平面内的任一向量在给出基底、的条件下进行分解()基底给定时分解?#38382;?#24799;一、是被唯一确定的数..两个向量的夹角已知两个非零向量和作则叫做向量和的夹角.说明?#28023;ǎ?#21521;量和的夹角的范围是.当时和同向当时和反向()当时我们说向量和垂直记作..平面向量的正交分解和坐标表示()平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量正交分解.正交分解是向量分解中常见的一种情形.()在直角坐标?#30340;?#22914;图我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量由平面向量基本定理知有且只有一对实数、使得这样平面内的任一向量都可以由、唯一确定我?#21069;延行?#25968;对叫做向量的(直角)坐标记作?#28023;?#20854;中叫做在轴上的坐标叫做在轴上的坐标叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.特别地.如图在直角坐标平面内以原点为起点作则点的位置由唯一确定.设则向量的坐标就是点的坐标反过来点的坐标也就是向量的坐标.因此在平面直角坐标?#30340;?#27599;一个平面向量都是可以用一?#34892;?#23454;数对唯一表示..平面向量的坐标运算()若则由向量线性运算的结?#19979;?#21644;分配律可得:即同理可得.即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.即即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.()若则①.即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.②若是线段的中点则由向量的线性运算可知:即点的坐标为..平面向量共线的坐标表示设其中.我们知道、共线当?#21307;?#24403;存在实数使.如果用坐标表示可以写为即消去后得.这就是?#26723;鼻医?#24403;时向量、共线.注意?#28023;ǎ?#28040;去时不能两式相除因为有可能为.∵∴中至少有一个不为()充要条件不能写成因为有可能为三、典型例题选讲例?已知是以点为起点且与向量平行的单位向量则向量的终点坐标是??.解:方法一:设向量的终点坐标是则则题意可知解得:或故填或.方法二:与向量平行的单位向量是故可?#20040;?#32780;向量的终点坐标是便可得结果.归纳小结:①向量的概念较多且容易混淆在学习中要分清、理解各概念的实?#39318;?#24847;区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念②与平行的单位向量.例?给出下列命题:①若||=||则=②若是不共线的四点则是四边形为平行四边形的充要条件③若==则=④=的充要条件是||=||且⑤若则其中正确的序号是???.解析:①不正确.两个向量的长?#35748;?#31561;但它们的方向不一定相同.②正确.∵∴且又D是不共线的四点∴四边形为平行四边形反之若四边形为平行四边形则且因此.③正确.∵=∴的长?#35748;?#31561;且方向相同又?#20581;?#30340;长?#35748;?#31561;且方向相同∴的长?#35748;?#31561;且方向相同故=.④不正确.当且方向相反时即使||=||也不能得到=故||=||且不是=的充要条件而是必要不充分条件.⑤不正确.考虑=这种特殊情况.综上所述正确命题的序号是②③.归纳小结:本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多因而容易遗忘为此复习时一方面要构建良好的知识结构另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系帮助理解加深?#19988;洌?#20363;(海南宁夏卷)平面向量共线的充要条件是(??)A.方向相同????????B.两向量中至少有一个为零向量??C.??????????D.存在不全为零的实数解析:若均为零向量则显然符合题意且存在不全为零的实数使若则由两向量共线知存在使得即符合题意故选?#27169;?#24402;纳小结:概念定理性的问题往往是?#27492;?#31616;单实则处处陷阱所以应加强对基础概念、定理的深入理解明确问题关键之处体会本质.例?平面直角坐标系中为坐标原点已知两点若点满足其中?#20197;?#28857;的轨迹方程为(??)A.??? B.C.?????????D.解析:解法:设则∴又..消去?#38382;?#24471;点的轨迹方程为.解法:利用向量的几何运算考虑定比分点公式的向量?#38382;?#32467;合条件知:三点共线?#23454;?#30340;轨迹方程即为直线的方程故本题应选D.归纳小结:本题主要考查向量的运算(几何?#38382;交?#22352;标?#38382;劍?#21450;直线的方程把向量联系起来使问题立意更新情景更好内容更丰富.例?如图在中、是的三等分点则=????=????.分析:以为基底借助、是的三等分点由平面向量的基本定理可以将、线性表出.解:因为、是的三等分点所以...归纳小结:若是的中点则的结论是显然的这里给出了的三等分点、向量、与、的关系从?#24418;?#20204;不难猜想的四等分点、五等分点……时的情况这些规律可以作为结论记下来.例(?#26412;?#21367;理)已知向量、不共线如果那么(??)A.且与同向???????????B.且与反向C.且与同向??????????D.且与反向解析:解法一:取.若则显然与不平行排除A、B.若则即且与反向排除C故选D.解法二:若则存在使得即从而有因为向量、不共线由平面向量基本定理可得即且与反向.故选D.归纳小结:本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法属于基础知识、平面向量基本定理等基础知识侧重基本方法、基本运算的考查.例?已知平面?#20808;?#28857;、、求点的坐标使得这四点能够成平行四边形的四个顶点.分析:本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序?#35270;?#20998;三种情况分别求解.解?#28023;ǎ?#24403;平行四边形为时因为所以.所以即()当平行四边形为时因为所以.所以即()当平行四边形为时因为所以.所以即.归纳小结:没有指明平行四边形顶点顺序时要分情况讨论.例?设、分别为非等边三角形的重心与外心且.()求点的轨迹的方程()过点作直线与曲线交于点、两点设是否存在这样的直线使四边?#38382;?#30697;形?若存在求出直线的方程若不存在?#36816;?#26126;理由.分析?#28023;ǎ?#36890;过向量的共线关系得到坐标的等量关系()根据矩形应该具备的充要条件得到向量垂直关系结合韦达定理求得的值.解?#28023;ǎ保?#30001;已知得,又∴.∵∴即.()设方程为代入曲线得:设则xx=xx=.∵∴四边?#38382;?#24179;行四边形.若四边?#38382;?#30697;形则.∴∴得.∴直线为?#28023;?#24402;纳小结:这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题注重数学知识之间联系的考查解题时应充分考虑基础知识的结?#31995;?#28789;活应用基本方法解决问题.四、本专题总结向量有了运算变得威力无限.今后高考的考查会逐渐加大综合性会更强.向量具有数形兼备的特点成为了作为联系众多知识的桥?#28023;?#22240;此向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高?#27982;?#39064;的必然趋势以后必须非常重视对向量的复习与演?#20998;?#33267;达到深刻理解、运用熟练的程度.

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